Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

61

З рівняннями ми всі знайомі з початкових класів. Ще там ми вчилися вирішувати найпростіші приклади, і треба визнати, що вони знаходять своє застосування навіть у вищій математиці. З рівняннями все просто, в тому числі і з квадратними. Якщо у вас проблеми з цією темою, настійно рекомендуємо вам повторити її.

Логарифми ви, ймовірно, теж вже пройшли. Тим не менш, вважаємо важливим розповісти, що це для тих, хто ще не знає. Логарифм прирівнюється до ступеня, в яку потрібно звести підставу, щоб вийшло число, що стоїть праворуч від знака логарифма. Наведемо приклад, виходячи з якого, вам все стане ясно.

Якщо ви зведете 3 в четверту ступінь вийде 81. Тепер підставте за аналогією числа, і зрозумієте остаточно, як вирішуються логарифми. Тепер залишилося лише поєднати два розглянутих поняття. Спочатку ситуація здається надзвичайно складною, але при найближчому розгляді вага стає на свої місця. Ми впевнені, що після цієї короткої статті у вас не буде проблем в цій частині єді.

Сьогодні виділяють безліч способів вирішення подібних конструкцій. Ми розповімо про найпростіших, ефективних і найбільш застосовних в разі завдань єді. Рішення логарифмічних рівнянь має починатися з найпростішого прикладу. Найпростіші логарифмічні рівняння складаються з функції і однієї змінної в ній.

Важливо врахувати, що x знаходиться всередині аргументу. A і b повинні бути числами. В такому випадку ви можете просто висловити функцію через число в ступені. Виглядає це наступним чином.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Зрозуміло, рішення логарифмічного рівняння таким методом приведе вас до вірного відповіді. Проблема переважної більшості учнів в цьому випадку полягає в тому, що вони не розуміють, що і звідки береться. В результаті доводиться миритися з помилками і не отримувати бажаних балів. Самою образливою помилкою буде, якщо ви переплутаєте букви місцями. Щоб вирішити рівняння цим способом, потрібно зазубрити цю стандартну шкільну формулу, тому що зрозуміти її складно.

Щоб було простіше, можна вдатися до іншого способу – канонічної форми. Ідея вкрай проста. Знову зверніть увагу на завдання. Пам’ятайте, що буква a-число, а не функція або змінна. A не дорівнює одному і більше нуля. На b ніяких обмежень не діє. Тепер з усіх формул згадуємо одну. B можна виразити наступним чином.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

З цього випливає, що всі вихідні рівняння з логарифмами можна представити у вигляді:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Тепер ми можемо відкинути логарифми. Вийде проста конструкція, яку ми вже бачили раніше.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Зручність даної формули полягає в тому, що її можна застосовувати в самих різних випадках, а не тільки для найпростіших конструкцій.

не переживайте щодо ооф!

Багато досвідчених математики помітять, що ми не приділили увагу області визначення. Зводиться правило до того, що f (x) обов’язково більше 0. Ні, ми не упустили цей момент. Зараз ми говоримо про ще одну серйозну перевагу канонічної форми.

Зайвих коренів тут не виникне. Якщо змінна буде зустрічатися лише в одному місці, то область визначення не є необхідністю. Вона виконується автоматично. Щоб переконатися в даному судженні, займіться вирішенням декількох простих прикладів.

як вирішувати логарифмічні рівняння з різними підставами

Це вже складні логарифмічні рівняння, і підхід до їх вирішення повинен бути особливим. Тут рідко виходить обмежитися горезвісною канонічною формою. Почнемо наш докладний розповідь. Ми маємо наступну конструкцію.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Зверніть увагу на дріб. У ній знаходиться логарифм. Якщо ви побачите таке в завданні, варто згадати один цікавий прийом.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Що це означає? кожен логарифм можна представити у вигляді двох логарифмів зі зручним підставою. І у даної формули є окремий випадок, який застосуємо з цим прикладом (маємо на увазі, якщо c=b).

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Саме такий дріб ми і бачимо в нашому прикладі. Таким чином.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

По суті, перевернули дріб і отримали більш зручний вираз. Запам’ятайте цей алгоритм!

Тепер потрібно, що логарифмічне рівняння не містило різних підстав. Уявімо підставу дробом.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

В математиці є правило, виходячи з якого, можна винести ступінь з підстави. Виходить наступна конструкція.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Здавалося б, що заважає тепер перетворити наш вираз в канонічну форму і елементарно вирішити її? не все так просто. Дробів перед логарифмом бути не повинно. Виправляємо цю ситуацію! дріб дозволяється виносити в якості ступеня.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Відповідно.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Якщо підстави однакові, ми можемо прибрати логарифми і прирівняти самі вирази. Так ситуація стане в рази простіше, ніж була. Залишиться елементарне рівняння, яке кожен з нас умів вирішувати ще в 8 або навіть в 7 класі. Розрахунки ви зможете зробити самі.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Ми отримали єдино вірний корінь цього логарифмічного рівняння. Приклади рішення логарифмічного рівняння досить прості, чи не так? тепер і у вас вийде самостійно розібратися навіть з найскладнішими завданнями для підготовки і здачі єді.

Що в підсумку?

У випадку з будь-якими логарифмічними рівняннями ми виходимо з одного дуже важливого правила. Необхідно діяти так, щоб привести вираз до максимально простого вигляду. В такому випадку у вас буде більше шансів не просто вирішити завдання правильно, але ще і зробити це максимально простим і логічним шляхом. Саме так завжди діють математики.

Настійно не рекомендуємо вам шукати складних шляхів, особливо в цьому випадку. Запам’ятайте кілька простих правил, які дозволять перетворити будь-який вираз. Наприклад, привести два або три логарифми до однієї основи або вивести ступінь з підстави і виграти на цьому.

Також варто пам’ятати про те, що в рішенні логарифмічних рівнянь необхідно постійно тренуватися. Поступово ви будете переходити до все більш складних конструкцій, а це приведе вас до впевненого вирішення всіх варіантів завдань на єді. Готуйтеся до іспитів завчасно, і удачі вам!

На даному уроці ми повторимо основні теоретичні факти про логарифми і розглянемо рішення найпростіших логарифмічних рівнянь.

Нагадаємо центральне визначення-визначення логарифма. Воно пов’язане з вирішенням показового рівняння . Дане рівняння має єдиний корінь, його називають логарифмом b по підставі а:

Визначення:

Логарифмом числа b по підставі а називається такий показник ступеня, в яку потрібно звести підставу а, щоб отримати число b.

Нагадаємо основне логарифмічне тотожність .

Вираз (вираз 1) є коренем рівняння (вираз 2). Підставимо значення х з виразу 1 замість х у вираз 2 і отримаємо основне логарифмічне тотожність:

Отже ми бачимо, що кожному значенню ставиться у відповідність значення . Позначимо b за х (), с за у, і таким чином отримуємо логарифмічну функцію:

Наприклад:Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Згадаймо основні властивості логарифмічної функції.

Ще раз звернемо увагу, тут , тому що під логарифмом може стояти строго позитивний вираз, як підстава логарифма.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Рис. 1. Графік логарифмічної функції при різних підставах

Графік функції при зображений чорним кольором. Рис. 1. Якщо аргумент зростає від нуля до нескінченності, функція зростає від мінус до плюс нескінченності.

Графік функції при зображений червоним кольором. Рис. 1.

Властивості даної функції:

Область визначення: ;

Область значень: ;

Функція монотонна на всій своїй області визначення. При монотонно (строго) зростає, більшого значення аргументу відповідає більше значення функції. При монотонно (строго) убуває, більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

Властивості логарифмічної функції є ключем до вирішення різноманітних логарифмічних рівнянь.

Розглянемо найпростіше логарифмічне рівняння, всі інші логарифмічні рівняння, як правило, зводяться до такого виду.

Оскільки рівні підстави логарифмів і самі логарифми, рівні і функції, що стоять під логарифмом, але ми повинні не упустити область визначення. Під логарифмом може стояти тільки позитивне число, маємо:

Ми з’ясували, що функції f і g рівні, тому досить вибрати одне будь нерівність щоб дотримати одз.

Таким чином, ми отримали змішану систему, в якій є рівняння і нерівність:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Нерівність, як правило, вирішувати необов’язково,Досить вирішити рівняння і знайдені корені підставити в нерівність, таким чином виконати перевірку.

Сформулюємо метод розв’язання найпростіших логарифмічних рівнянь:

Зрівняти підстави логарифмів;

Прирівняти підроблені функції;

Виконати перевірку.

Розглянемо конкретні приклади.

Приклад 1-вирішити рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти подлогарифмические вирази, не забуваємо про одз, виберемо для складання нерівності перший логарифм:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Приклад 2 — розв’язати рівняння:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Дане рівняння відрізняється від попереднього тим, що підстави логарифмів менше одиниці, але це ніяк не впливає на рішення:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Отримали невірне нерівність, значить, знайдений корінь не задовольняє одз.

Приклад 3-вирішити рівняння:

Підстави логарифмів спочатку рівні, маємо право прирівняти подлогарифмические вирази, не забуваємо про одз, виберемо для складання нерівності другий логарифм:

Знайдемо корінь і підставимо його в нерівність:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Очевидно, що тільки перший корінь задовольняє одз.

Логарифмічні рівняння. Продовжуємо розглядати завдання з частини в єді з математики. Ми з вами вже розглянули рішення деяких рівнянь в статтях»»,»». У цій статті розглянемо логарифмічні рівняння. Відразу скажу, що ніяких складних перетворень при вирішенні таких рівнянь на єді не буде. Вони прості.

Достатньо знати і розуміти основну логарифмічну тотожність, знати властивості логарифму. Зверніть увагу на те, то після рішення обов’язково потрібно зробити перевірку-підставити отримане значення в початкове рівняння і обчислити, в результаті повинно вийти вірне рівність.

визначення :

логарифмом числа a по підставі b називається показник ступеня, в який потрібно звести b, щоб отримати a.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Наприклад:

Log 3 9 = 2, так як 3 2 = 9

Властивості логарифмів:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Окремі випадки логарифмів:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Вирішимо завдання. У першому прикладі ми зробимо перевірку. У наступних перевірку зробіть самостійно.

Знайдіть корінь рівняння: log 3( 4-x) = 4

Так як log b a = x b x = a, то

3 4 = 4 – x

X = 4 – 81

X = – 77

Перевірка:

Log 3 (4–(-77)) = 4

Log 3 81 = 4

3 4 = 81 верно.

Відповідь: – 77

вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 2 (4-x) = 7

Знайдіть корінь рівняння log 5 (4 + x) = 2

Використовуємо основне логарифмічне тотожність.

Так як log a b = x b x = a, то

5 2 = 4 + x

X =5 2 – 4

X = 21

Перевірка:

Log 5 (4 + 21) = 2

Log 5 25 = 2

5 2 = 25 верно.

Відповідь: 21

Знайдіть корінь рівняння log 3 (14-x) = log 3 5.

Має місце наступне властивість, сенс його такий: якщо в лівій і правій частинах рівняння маємо логарифми з однаковим підставою, то можемо прирівняти вирази, що стоять під знаками логарифмів.

14 – x = 5

X = 9

Зробіть перевірку.

Відповідь: 9

вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння log 5 (5-x) = log 5 3.

Знайдіть корінь рівняння: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).

Якщо log c a = log c b, то a = b

X + 3 = 4x– 15

3x = 18

X = 6

Зробіть перевірку.

Відповідь: 6

Знайдіть корінь рівняння log 1/8 (13 – x) = — 2.

(1/8) -2 = 13 – x

8 2 = 13 – x

X = 13 – 64

X = – 51

Зробіть перевірку.

Невелике доповнення – тут використовується властивість

Ступеня ().

Відповідь: – 51

вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 1/7 (7-x) = – 2

Знайдіть корінь рівняння log 2 (4-x) = 2 log 2 5.

Перетворимо праву частину. Скористаємося властивістю:

Log a b m = m∙log a b

Log 2 (4-x) = log 2 5 2

Якщо log c a = log c b, то a = b

4 – x = 5 2

4 – x = 25

X = – 21

Зробіть перевірку.

Відповідь: – 21

вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3

Вирішіть рівняння log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)

Якщо log c a = log c b, то a = b

X 2 + 4x = x 2 + 11

4x = 11

X = 2,75

Зробіть перевірку.

Відповідь: 2,75

вирішіть самостійно:

Знайдіть корінь рівняння log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).

Вирішіть рівняння log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.

Необхідно з правого боку рівняння отримати вираз виду:

Log 2 (……)

Представляємо 1 як логарифм з основою 2:

1 = log 2 2

Log з (ab) = log з a + log з b

Log 2 (2 – x) = log 2 (2-3x) + log 2 2

Отримуємо:

Log 2 (2-x) = log 2 2 (2-3x)

Якщо log c a = log c b, то a = b, значить

2 – x = 4-6x

5x = 2

X = 0,4

Зробіть перевірку.

Відповідь: 0,4

вирішіть самостійно: далі необхідно вирішити квадратне рівняння. До речі,

Коріння рівні 6 і-4.

Корінь «- 4 «не є рішенням, так як підстава логарифма має бути більше нуля, а при «4″ воно дорівнює« 5». Рішенням є корінь 6. зробіть перевірку.

Відповідь: 6.

Вирішіть самостійно:

Вирішіть рівняння log x -5 49 = 2. Якщо рівняння має більше одного кореня, у відповіді вкажіть менший з них.

Як ви переконалися, ніяких складних перетворень з логарифмічними рівняннями немає. Досить знати властивості логарифма і вміти застосовувати їх. У завданнях єді, пов’язаних з перетворенням логарифмічних виразів, виконуються більш серйозні перетворення і потрібні більш глибокі навички у вирішенні. Такі приклади ми розглянемо, не пропустіть! успіхів вам!!!

З повагою, олександр крутицьких.

P. S: буду вдячний вам, якщо розповісте про сайт в соціальних мережах.

Як відомо, при перемноженні виразів зі ступенями їх показники завжди складаються (a b *a c = a b+c). Цей математичний закон був виведений архімедом, а пізніше, в viii столітті, математик вірасен створив таблицю цілих показників. Саме вони послужили для подальшого відкриття логарифмів. Приклади використання цієї функції можна зустріти практично скрізь, де потрібно спростити громіздке множення на просте додавання. Якщо ви витратите хвилин 10 на прочитання цієї статті, ми вам пояснимо, що таке логарифми і як з ними працювати. Простою і доступною мовою.

Визначення в математиці

Логарифмом називається вираз виду: log a b=c, то є логарифмом будь-якого ненегативного числа (тобто будь-якого позитивного) «b» за його основи «a» вважається ступінь «c», у яку треба звести підстава «a», щоб в результаті отримати значення «b». Розберемо логарифм на прикладах, припустимо, є вираз log 2 8. Як знайти відповідь? дуже просто, потрібно знайти таку ступінь, щоб з 2 в шуканої ступеня отримати 8. Виконавши в розумі деякі розрахунки, отримуємо число 3! і вірно, адже 2 в ступені 3 дає у відповіді число 8.

Різновиди логарифмів

Для багатьох учнів і студентів ця тема здається складною і незрозумілою, проте насправді логарифми не такі страшні, головне — зрозуміти загальний їх зміст і запам’ятати їх свойста і деякі правила. Існує три окремих види логарифмічних виразів:

  1. натуральний логарифм ln a, де підставою є число ейлера (e = 2,7).
  2. десятковий a, де підставою служить число 10.
  3. логарифм будь-якого числа b по підставі a> 1.

Кожен з них вирішується стандартним способом, що включає в себе спрощення, скорочення і подальше приведення до одного логарифму за допомогою логарифмічних теорем. Для отримання вірних значень логарифмів слід запам’ятати їх властивості і черговість дій при їх рішеннях.

Правила і деякі обмеження

В математиці існує кілька правил-обмежень, які приймаються як аксіома, тобто не підлягають обговоренню і є істиною. Наприклад, не можна числа ділити на нуль, а ще неможливо витягти корінь парного ступеня з негативних чисел. Логарифми також мають свої правила, дотримуючись яких можна з легкістю навчитися працювати навіть з довгими і ємними логарифмічними виразами:

  • підстава » a «завжди має бути більше нуля, і при цьому не бути рівним 1, інакше вираз втратить свій сенс, адже» 1 «і» 0 «в будь-якій мірі завжди рівні своїм значенням;
  • якщо а>0, то і а b>0, виходить, що і» с » має бути більше нуля.

Як вирішувати логарифми?

Наприклад, дано завдання знайти відповідь рівняння 10 х = 100. Це дужеЛегко, потрібно підібрати таку ступінь, звівши в яку число десять, ми отримаємо 100. Це, звичайно, 10 2 =100.

А тепер давайте представимо даний вираз у вигляді логарифмічного. Отримаємо log 10 100 = 2. При вирішенні логарифмів всі дії практично сходяться до того, щоб знайти ту ступінь, в яку необхідно ввести підставу логарифма, щоб отримати задане число.

Для безпомилкового визначення значення невідомого ступеня необхідно навчитися працювати з таблицею ступенів. Виглядає вона наступним чином:

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Як бачите, деякі показники ступеня можна вгадати інтуїтивно, якщо є технічний склад розуму і знання таблиці множення. Однак для великих значень потрібно таблиця ступенів. Нею можуть користуватися навіть ті, хто зовсім нічого не розуміє в складних математичних темах. У лівому стовпці вказані числа (підстава a), верхній ряд чисел — це значення ступеня c, в яку зводиться число a. На перетині в осередках визначені значення чисел, які є відповіддю (a c =b). Візьмемо, наприклад, найпершу осередок з числом 10 і зведемо її в квадрат, отримаємо значення 100, яке зазначено на перетині двох наших осередків. Все так просто і легко, що зрозуміє навіть справжнісінький гуманітарій!

Рівняння і нерівності

Виходить, що за певних умов показник ступеня — це і є логарифм. Отже, будь-які математичні чисельні вирази можна записати у вигляді логарифмічної рівності. Наприклад, 3 4 =81 можна записати у вигляді логарифма числа 81 по підставі 3, рівному чотирьом (log 3 81 = 4). Для негативних ступенів правила такі ж: 2 -5 = 1/32 запишемо у вигляді логарифма, отримаємо log 2 (1/32) = -5. Однією з найбільш захоплюючих розділів математики є тема «логарифми». Приклади і рішення рівнянь ми розглянемо трохи нижче, відразу ж після вивчення їх властивостей. А зараз давайте розберемо, як виглядають нерівності і як їх відрізнити від рівнянь.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Дано вираз наступного виду: log 2 (x-1)> 3 — воно є логарифмічним нерівністю, так як невідоме значення «х» знаходиться під знаком логарифма. А також у виразі порівнюються дві величини: логарифм шуканого числа по підставі два більше, ніж число три.

Найголовніша відмінність між логарифмічними рівняннями і нерівностями полягає в тому, що рівняння з логарифмами (приклад — логарифм 2 x = √9) мають на увазі у відповіді одне або кілька певних числових значень, тоді як при вирішенні нерівності визначаються як область допустимих значень, так і точки розриву цієї функції. Як наслідок, у відповіді виходить не просте безліч окремих чисел як у відповіді рівняння, а а безперервний ряд або набір чисел.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Основні теореми про логарифми

При вирішенні примітивних завдань по знаходженню значень логарифма, його властивості можна і не знати. Однак коли мова заходить про логарифмічні рівняння або нерівності, в першу чергу, необхідно чітко розуміти і застосовувати на практиці всі основні властивості логарифмів. З прикладами рівнянь ми познайомимося пізніше, давайте спочатку розберемо кожну властивість більш детально.

  1. основна тотожність виглядає так: а logab =b. Воно застосовується тільки за умови, коли а більше 0, не дорівнює одиниці і b більше нуля.
  2. логарифм твору можна представити в такій формулі: log d (s 1 *s 2) = log d s 1 + log d s 2. При цьому обов’язковою умовою є: d, s 1 і s 2>0; а ≈ 1. Можна навести доказ для цієї формули логарифмів, з прикладами і рішенням. Нехай log a s 1 = f 1 і log a s 2 = f 2 , тоді a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Отримуємо, що s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (властивості ступенів), а далі за визначенням: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, що і потрібно довести.
  3. логарифм приватного виглядає так: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 — log a s 2.
  4. теорема у вигляді формули набуває такого вигляду: log a q b n = n / q log a b.

Називається ця формула «властивістю ступеня логарифма». Вона нагадує собою властивості звичайних ступенів, і не дивно, адже вся математика тримається на закономірних постулатах. Давайте подивимося на доказ.

Нехай log a b = t, виходить a t =b. Якщо звести обидві частини в ступінь m: a tn = b n ;

Але так як a tn = (a q) nt/q = b n , отже log a q b n = (n*t)/t, тоді log a q b n = n/q log a b. Теорема доведена.

Приклади задач і нерівностей

Найпоширеніші типи задач на тему логарифмів — приклади рівнянь і нерівностей. Вони зустрічаються практично у всіх задачниках, а також входять в обов’язкову частину іспитів з математики. Для вступу до університету або складання вступних випробувань з математики необхідно знати, як правильно вирішувати подібні завдання.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

На жаль, єдиного плану або схеми за рішенням і визначенням невідомого значення логарифма не існує, проте до кожної математичної нерівності або логарифмічного рівняння можна застосувати певні правила. Перш за все слід з’ясувати, чи можна спростити вираз або привести до загального вигляду. Спрощувати довгі логарифмічні вирази можна, якщо правильно використовувати їх властивості. Давайте швидше з ними познайомимося.

При вирішенні ж логарифмічних рівнянь, слід визначити, який перед нами вид логарифма: приклад виразу може містити натуральний логарифм або ж десятковий.

Ось приклади ln100, ln1026. Їх рішення зводиться до того, що потрібно визначити ту ступінь, в якій підстава 10 дорівнюватиме 100 і 1026 відповідно. Для рішень же натуральних логарифмів потрібно застосувати логарифмічні тотожності або ж їх властивості. Давайте на прикладах розглянемо рішення логарифмічних задач різного типу.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Як використовувати формули логарифмів: з прикладами і рішеннями

Отже, розглянемо приклади використання основних теорем про логарифми.

  1. властивість логарифма твору можна застосовувати в завданнях, де необхідно розкласти велике значення числа b на більш прості співмножники. Наприклад, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Відповідь дорівнює 9.
  2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 — як бачите, застосовуючи четверте властивість ступеня логарифма, вдалося вирішити на перший погляд складне і невирішуване вираз. Необхідно всього лише розкласти підставу на множники і потім винести значення ступеня зі знака логарифма.

Логарифми знайти корінь рівняння онлайн з рішенням. Логарифмічне рівняння: основні формули і прийоми

Завдання з єді

Логарифми часто зустрічаються на вступних іспитах, особливо багато логарифмічних завдань в єді (державний іспит для всіх випускників шкіл). Зазвичай ці завдання присутні не тільки в частині а (найлегша тестова частина іспиту), але і в частині с (найскладніші і об’ємні завдання). Іспит має на увазі точне і ідеальне знання теми»натуральні логарифми».

Приклади і рішення завдань взяті з офіційних варіантів єді. Давайте подивимося, як вирішуються такі завдання.

Дано log 2 (2x-1) = 4. Рішення:
Перепишемо вираз, трохи його спростивши log 2 (2x-1) = 2 2 , за визначенням логарифма отримаємо, що 2x-1 = 2 4 , отже 2x = 17; x = 8,5.

  • всі логарифми найкраще приводити до однієї основи, щоб рішення не було громіздким і заплутаним.
  • все вираз, що стоять під знаком логарифма, вказуються як позитивні, тому при винесенні множником показника ступеня вираження, який стоїть під знаком логарифма і в якості його підстави, залишається під логарифмом вираз повинен бути позитивно.

Дотримання вашої конфіденційності важливо для нас. З цієї причини, ми розробили політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо і зберігаємо вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональною інформацією розуміються дані, які можуть бути використані для ідентифікації певної особи або зв’язку з нею.

Від вас може бути запитано надання вашої персональної інформації в будь-який момент, коли ви зв’язуєтеся з нами.

Нижче наведені деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

  • коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваші ім’я, номер телефону, адресу електронної пошти і т. Д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

  • зібрана нами персональна інформація дозволяє нам зв’язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи і найближчі події.
  • час від часу, ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для відправки важливих повідомлень і повідомлень.
  • ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних іРізних досліджень з метою поліпшення послуг надаються нами і надання вам рекомендацій щодо наших послуг.
  • якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулюючому заході, ми можемо використовувати надану вами інформацію для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від вас інформацію третім особам.

Винятки:

  • у разі якщо необхідно — відповідно до закону, судовим порядком, в судовому розгляді, і / або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території рф — розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримки правопорядку, або інших суспільно важливих випадках.
  • у разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати зібрану нами персональну інформацію відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо заходів обережності-включаючи адміністративні, технічні та фізичні — для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки, і недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни і знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і строго стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.